5. Построение прямоугольника в пропорциях стороны и диаго¬
нали квадрата (фиг. 5).

Первый вариант построения. На отрезке прямой AD, который
является заданной шириной прямоугольника, в точке А восстанав¬
ливают перпендикуляр. На перпендикуляре откладывают радиусом
AD отрезок Am, после чего на противоположной стороне радиусом
Dm из центра D засекается в точке С высота прямоугольника ABDC.

В

Фиг. 5

Второй вариант построения (дан штрихпунктирными линиями).
Заданная высота прямоугольника AB делится пополам, и из точки
п проводится окружность диаметром AB, после чего из центра В
радиусом ВК, равным длине хорды, стягивающей четверть окружно¬
сти, на верхней (или нижней) линии прямоугольника засекается его
ширина ВС.

6. Проведение параллельных прямых на заданном расстоянии через
две заданные точки (фиг. 6).

Решение этой задачи применяется при построении наклонных
элементов букв.

Фиг. 6

Точки А и В соединяют прямой, и на отрезке AB, как на диа¬
метре, строят окружность. Из точек А и В, как из центров, радиу¬
сом, равным заданному расстоянию L, проводятся окружности, ко¬
торые, пересекаясь с окружностью, проведенной из центра О, дают
точки М и N, определяющие направление прямых AM и NB.

7. Проведение окружности через три точки (фиг. 7).

Эту задачу часто приходится решать при переходе от лекаль¬
ных кривых к циркульным.

Фиг. 7

Из точек А и В, как из центров, радиусами, большими, нежели
половина расстояния между этими точками, делаются засечки а и
Ь. Соединив точки а и Ь прямой, получим направление одного из
радиусов искомой окружности. Подобное же построение, сделанное
из точек В и С, дают засечки cud, определяющие направление
второго радиуса. Точка пересечения двух полученных прямых дает
центр О искомой окружности. Для построения можно брать лю¬
бые две пары из трех заданных точек.

8. Проведение прямой, проходящей через заданную точку, и ка¬
сательной к данной окружности (фиг. 8).

Фиг. 8

Точку А соединяем с центром О окружности. На отрезке ОА,
как на диаметре, строим окружность, которая при пересечении с
заданной окружностью дает точки касания М и N с искомой пря¬
мой.

9. Построение наружных касательных к двум окружностям
(фиг. 9).

Фиг. 9

108

Из центра Ог большей окружности проводится вспомогательная
окружность радиусом, равным разности радиусов данных окруж¬
ностей. Центры О i и Ог соединяют прямой и на полученном отрезке,
как на диаметре, строят окружность (с центром Т). Эта окруж¬
ность пересекается с вспомогательной окружностью в точках А и
В. Пересечение прямых ОаА и ОаВ при их продолжении с заданной
окружностью определит точки касания М и N. Точки касания
К и L на малой окружности определяются при проведении из
центра Оі прямых, параллельных О2М и OaN.

10. Построение внутренних касательных к двум окружностям
(фиг. 10).

Фиг. 10

12. Построение окружности заданного радиуса, сопрягающей
прямую п окружность (фиг. 12).

Фиг. 12

Из центра Ог большей окружности проводится вспомогательная
окружность радиусом Ri~\~Ra (сумма радиусов данных окружностей).
На прямой, соединяющей центры Оі и Ог, как на диаметре, строит¬
ся окружность, которая пересекается в точках С и О с вспомога¬
тельной окружностью. Прямые, проведенные через эти точки и центр
Ог, определяют точки касания М и N искомой прямой на большой
окружности. Параллельно ОгС из центра Оі проводим прямую,
которая, пересекаясь с малой окружностью, даст точку касания Р
и соответственно, проводя прямую через Оі параллельно OaD, полу¬
чим точку касания R.

11. Построение окружности задапного радиуса, сопрягающей пе¬
ресекающиеся прямые (фиг. 11).

Сопряжение окружности с прямой сводится к нахождению то¬
чек их касания.

b

[о J

'j

к

В

Фиг. 1 1

Между заданными прямыми АА и ВВ, пересекающимися под
некоторым углом, проводим биссектрису угла и прямую ЬЬ, парал¬
лельную одной из них на расстоянии R, равном заданному радиу¬
су сопряжения. Пересечение биссектрисы и параллельной прямой
ЬЬ дает центр О окружности, а перпендикуляры, опущенные из цент¬
ра О на заданные прямые АА и ВВ. определяют точки сопряжения
(касания) N и М окружности и заданных прямых.

Задача может быть решена проведением двух прямых, парал¬
лельных заданным прямым, на расстоянии R.

Параллельно заданной прямой А А на расстоянии, равном за
данному радиусу г, проводится прямая. Из центра N заданной ок¬
ружности радиусом Ri, равным сумме Л+г радиусов существующей
и искомой окружности, проводится дуга, которая, пересекаясь с
ранее проведенной прямой, дает центр О искомой окружности. Пер¬
пендикуляр, опущенный из центра О на прямую АА, определяет на
ней точку сопряжения Кі, а прямая, соединяющая центры N и О,
дает точку сопряжения Ка на заданной окружности.

13. Построение окружности заданного радиуса, сопрягающейся
с двумя другими окружностями (фиг. 13).

Фиг. 13

Даны две окружности с центрами Nі и Na. Необходимо^ сде¬
лать сопряжение этих окружностей радиусом R. Центр искомой ок¬
ружности определяется точкой О пересечения дуг, проведенных из
центра N i радиусом Л+П и из центра Na радиусом R+ra, то есть
суммой радиусов данной и искомой окружностей. Точки сопряже¬
ния Кі и Ка получаются как точки пересечения прямых OA'i и
ONa с заданными окружностями.

109