віднімання (наприклад, римські цифри IV, IX).
Значним, але пізнім дослгненням в історіі цифр
було вживання «позиційного принципу», за
яким числове значения цифрових знаків зале-
жить не тільки від іхньоі' форми, а й від місця
(наприклад, 52, 25). Розвиток позиційного
принципу зумовив появу знака нуль. Цікаво,
що слово цифра походить від арабського по-
рожнеча, i спочатку це слово означало нуль.
Знак 0 показував відсутність числа.

Розвиток цифр пов'язаний із загальним роз-
витком письма. На ранній піктографічній стадіі
письма цифр ще не існувало. На випадок необ-
хідності позначення числа речей малювали ці
речі, повторюючи зображення потрібну кіль-
кість разів. Пізніше виник складніший спосіб:
зображували предмет, про який ¡шла мова, а по-
руч ставили крапки або риски, кількість яких
показувала потрібне число. Цей спосіб викори-
стовувався на початку XIX ст. на російських
монетах. Крапки, поставлені поряд ¡з цифрою,
визначали вартість монети. Такий принцип був
зручний для передачі невеликих чисел, вжива-
них на ранній стадіі' розвитку суспільства; крап¬
ки й риски послужили прототипом найпрості-
ших цифрових знаків — одиниць.

Як люди лічили i як називали числа до ви-
найдення письма, ми точно не знаемо. На сві-
танку цивілізаціі люди обходились трьома чис¬
лами: «один», «два», «багато». Минуло, мабуть,
не одне тисячоліття, перш ніж ця лічба посуну-
лася далі. В усякому разі, на час винайдення
письма люди вміли уже непогано лічити.

Як ми зазначали, ацтеки i майя користува-
лися пятірково-двадцятковою системою числен¬
ия. Особливими знаками у них для написания
одиниці були крапка, п'яти — риска, двадця-
ти — прапор. Решту цифр одержували повто¬
рениям, складанням основних знаків, наприк¬
лад:

• •• ••• НИ ~~~^~

ш •■ ■•• •••• ---------------- ---------------- ■ ' ' '

1234 5 6 7 8 9 10

• •• ••• • ■ » •

'• •• ••• •••• —^— —^— i ~^~~

ТГ ~йГ Тз" ~н IF" "li" ~ IF ~ПГ

За Ю. В. Кнорозовим, майя вживали i по-
зиційний спосіб запису чисел '. Користуючись
своею системою числення, майя досягли високо-
го ступеня математичних i астрономічних знань.

Відомо, що клинописна система запису чисел
зародилася майже 4000 років тому. Ця система
була дуже поширена на Близькому Сході. На-
віть у сучасній практиці відображено вплив ва-
вілонськоі' культури далеких часів. Коли на кі-
нець III тисячоліття до н. е. відбувалося злиття
двох народів шумерів i аккадян (Північна час-
тина Вавілону до початку еліністичного періоду
icTopiï називалась Аккад), одиницею ваги у шу-
мерів була міна (приблизно 0,5 кг), грошовою
мірою — міна срібла. У аккадян основна одини-
ця — шекель була приблизно в шістдесят разів
меншою. Після злиття згаданих народів у них
в обігу залишилися обидві системи одиниць ви-

' Див.: Кнорозов Ю. В. Письменность индейцев
майя. М— Л., 1963,

міру. Мінами i шекелями користувалися тоді
так, як ми тепер користуемося кілограмами І
грамами. В грошовому обігу міни i шекелі віді-
гравали роль наших карбованців i копійок, але
з тіею різницею, що більша одиниця виміру до-
рівнювала не 100, а 60 дрібним одиницям. Піз-
ніше тут виникае ще більша одиниця виміру «та¬
лант», один талант дорівнював шістдесяти мі-
нам. Така система збереглася до наших днів
для вимірювання кутів i часу. Адже шосту час-
тину кола ділять на 60 градусів, градус на
60 мінут, мінуту на 60 секунд. Мінута означае
по латині маленька.

Як текстовий матеріал клинястого письма, так
i цифри писали паличками — вдавлюючи ïx у
м'яку глину. Народи Передньоі' Азіі, які вжива¬
ли клинясте письмо (вавілоняни, ассірійці, хет-
ти, еламіти), позначали різні числа у шістдесят-
ковій системі за допомогою трьох основних зна-
ків. Першим знаком був клин, обернутнй
гострим кутом донизу \¡, другим був знак,скла-
дений з двох клинів, поставлених навкіс i сполу-
чених своіми основами \, a третім — горизон¬
тально покладений клин, спрямований cboïm
вістрям управо 2> .

Для написания числа 1 вживався перший
знак, тобто клин, поставлений вертикально ві-
стрям донизу; для позначення числа 2 служи¬
ли два такі клини ¡ т. д. Для написания числа
десять ( 10) вживали другий знак — \ , для
числа 100 — комбінацію першого i третього зна-
ків, себто вертикально поставлений клин i поруч
з ним покладений горизонтально (Ѵ2-^)- Ко-
ли хотіли цими знаками написати, наприклад
200 або 300, то писали стільки вертикально по¬
ставлених клинів, скільки e у числі сотень, i
поряд з ними один горизонтально покладений
клин, що відігравав роль мультиплікатора
(множника).

Тисячу позначали так: написавши число де¬
сять, до нього праворуч дописували знак сотні,
а число десять тисяч позначали так: написавши
цифру 10, до неі праворуч дописували
тисячу.

Коли до вертикального клина ліворуч пода-
вався горизонтально покладений, то це означа¬
ло шістдесят (60).

i ѵѵ m i « ^ѵ ѵ»-

12 3 10 20 60 100

200 500 1000 10000

(10ХЮ0) (10X1000)

Передньоазійська система цифр, так як i си¬
стема клинопису, була дуже складна на той час;
вона виявилась найбільш прогресивною серед
давніх систем; у ній вперше був вжитий пози-
пійний принцип, який давав змогу записувати
дуже великі числа, i було введено особливий
знак (прообраз нуля) для позначення того, що
немае якогось розряду цифр.

126

Протягом трьох тисячоліть у східному басей-
ні Середземного моря у фінікіян, кіпріотів i
мешканців о. Кріт було схоже написания цифр:
вони мали три основні знаки: вертикальну рис¬
ку, яка служила за одиницю, горизонтальну
риску, що позначала число десять, кружечок —
сто. Комбінаціями цих знаків можна було по-
значати різні числа:
I II III НИ - -- --III о ооо----------ЦП

1 2 3 4 10 20 23 100 334

На о. Кіпр, який лежить на тій же паралелі,
що й о. Кріт, за 500 кілометрів на схід від ньо¬
го система чисел була майже та сама, що на
о. Кріт, але за десять служив знак, подібний за-
головковому (версальному) латинському L або
малому півколу ¿^

Китайські цифри. Найдавніші китайські циф¬
ри, як i найдавніше китайське письмо, виникли
під час правління легендарного царя Фу Ci,
який жив у III тисячолітті до н. е., з ним ки-
тайська національна традиція пов'язуе початок
китайського письма. Він ніби винайшов вісім
магічних триграм, які відігравали важливу роль
у ворожінні i називалися «паква», що означае
«вісім ворожильних триграм».

Китайські цифри того часу за своіми ознака-
ми нагадують найдавніше китайське письмо
«паква».

012 34 56789

Китайці користуються трьома системами чис¬
лення, які грунтуються на числі десять (10), а
знаки (цифри) побудовані за системою скла¬
дання i множення. Основні знаки такі:

-= ж-Я£*<Л&+ S" *

I 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 1000

Числа, як i текст, пишуться у вертикальному
напрямі. Коли у стовпці зверху стоять одиниці,
себто числа від 1 до 10 (включно 9), то ці оди-
ниці відіграють роль множника, наприклад:

+

= 20

+ У= 43

У комерційних документах китайці пишуть
цифри горизонтально, ставлячи знаки вищого
розряду зліва. Вони мають такий вигляд:

i Ir I« X Ъ 1 è. à i + nffto

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 IO2 IO3 IO4 0

Третя китайська система чисел графічно по-
будована на базі вертикальних рисок i гори-
зонтальноі риски — основи, цифри, так як i в
двох попередніх системах, розташовуються по-
зиційно.

I II III НИ UHI Т^ ТД ]F¿ тпгд

12 3 4 5 ~~6~^ ~~7 ~8 9

У стародавніх египтян була досить високо
розвинена система числення. На одному написі,

що припадав на 3800 р. до н. е., ми зустрічаемо
число один мільйон чотириста двадцять дві ти-
сячі (1422 000). У британському музеі' збері-
гаеться папірус, що зветься Риндус — «Шлях пі-
знання таемниць...». 3 нього дізнаемося, що
египтяни робили тоді складні математичні опе-
раціі, знали дроби, число зх (пі), тобто 3,14
i т. д.

бгипетська система чисел була побудована на
основі суворого дотримання десяткового прин¬
ципу. Для позначення одиниць застосовувались
горизонтальні, рідше — вертикальні риски, для
десяти ■— дуга, для сотень — зігнута мотузка,
для тисячі — стебло лотоса, для десяти ти¬
сяч — зігнутий палець, для сотні тисяч — пуго¬
ловок (тому що пуголовки виводилися у вели-
кій кількості). Для мільйона служив знак у
вигляді людини, що підняла руки вгору від зди-
вування перед таким великим числом. За ін-
шою трактовкою, це божество, що підтримуе не-
босхил.

0 '■' £ Í 5à W

1 IO 100 1000 10000 100000 1000000

Решту чисел одержували за принципом скла¬
дання зазначених основних цифр, поставлених
поруч; так, для числа двадцять п'ять (25) пи¬
шуть дві дуги (лука) i пять рисок, для озна¬
чения 1852 писали один знак тисячі, вісім зна¬
ков сотень, пять знаків десяти i два знаки оди¬
ниць.

Цифрові знаки почали вживати в Сгипті ще
в додинастичну добу, при переході від піктогра-
фі'і до логографіі'. Так, в напису Нармера на ши-
ферній таблиці (кінець IV тисячоліття до н. е.)
e знаки стебла папірусу, що тлумачаться егип¬
тологами як позначення тисяч. Починаючи з
«Середнього царства», позначення великих чи¬
сел будувалися не за принципом складання, а
за принципом множення. В міру розвитку еги-
петського письма, особливо коли египтяни поча¬
ли иисати на папірусі, цифри в іератичному i
демотичному письмі формувалися так:

I II III . 1 S! 1 = І л

1234 56 7 89 10

Л

20

'Л ^_

30 40

Ì Ш

50 60

70

ХЩ ìli _s

80 90 100

Написания цифр у египетському письмі роз-
вивалось так, як i текстове письмо. Відповідно
розрізняемо іерогліфічні, іератичні та демотичні
цифри.

Як нам відомо, найдавніші цифри, що були у
вжитку в бвропі, це знаки грецькоі античноі
системи, в якій літери служили цифровим ко¬
дом, так званоі' геродіановоі, що дістала свою
назву за ім'ям Геродіана Олександрійського
(II ст. до н. е.). Але Геродіан не був автором
ціеі системи. Ці цифри, мабуть, походять з
IV ст. до н. е., ще у Періклів час близько
500 р. до н. е. вони були у широкому вжитку.
Але з Плутархового часу (близько 100 р. н. е.)
вони вийшли з ужитку.

127